Question

已知，如图，抛物线=ax²-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A，B，点A的坐标为（4，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点M在抛物线上，且△ABC与△ABM的面积相等，直接写出点M的坐标；
（3）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ，当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标．

Answer

（1）根据A，C两点坐标，利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）根据△ABC与△ABM的面积相等，得出M的纵坐标为：±4，再把y=4和y=-4时分别代入求出对应的x的值，进而得出点M的坐标；
（3）设BQ=x，因为EQ∥AC，所以△BEQ∽△BCA，再利用相似三角形的性质得出S△CQE=x×4-x2=-x2+2x，再利用二次函数的性质进而点Q的坐标．
【解析】
（1）∵点C（0，4），
∴c=4，
∵点A的坐标为（4，0），
∴0=16a-8a+4，
∴a=-，
∴y=-x2+x+4；

（2）∵△ABC与△ABM的面积相等，
C点坐标为：（0，4），
∴M的纵坐标为：±4，
∴4=-x2+x+4；
解得：x 1=0，x 2=2，
∴M点的坐标为：（2，4），
当-4=-x2+x+4；
解得：x 1=1+，x 2=1-，
∴M点的坐标为：（1+，-4），或（1-，-4），
∴综上所述：M点的坐标为：（2，4）、（1+，-4）或（1-，-4）；

（3）∵B（-2，0，），AB=6，
∴S△ABC=×6×4=12，
设BQ=x，
∵EQ∥AC，
∴△BEQ∽△BCA，
∴（）2==（）2，
∴S△BEQ×12=x2，
∴S△CQE=x×4-x2=-x2+2x，
当x=-=3时，S△CQE面积最大，
∴Q点坐标为（1，0）．