Question

如图，梯形ABCD在平面直角坐标系中，上底AD平行于x轴，下底BC交y轴于点E，点C（4，-2），点D（1，2），BC=9，sin∠ABC=．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点H的坐标为（-1，-1），动点G从B出发，以1个单位/秒的速度沿着BC边向C点运动（点G可以与点B或点C重合），求△HGE的面积S（S≠0）随动点G的运动时间t′秒变化的函数关系式（写出自变量t′的取值范围）．

Answer

（1）过点A作AF⊥BC于点F，由四边形ADCE是梯形，C（4，-2），点D（1，2）可知AF=2+2=4，再由sin∠ABC=可求出AB的长，由BC=9可得出B点坐标，设A（x，2），利用两点间的距离公式可求出A点坐标，用待定系数法求出直线AB的解析式；
（2）先根据BC两点的坐标求出BE及CD的长，再根据点G在E点的左侧与右侧两种情况得出△HGE的面积S（S≠0）随动点G的运动时间t′秒变化的函数关系式即可．
【解析】
（1）如图1，过点A作AF⊥BC于点F，
∵四边形ADCE是梯形，C（4，-2），点D（1，2），
∴AF=2+2=4，
∵sin∠ABC=，
∴AB===5，
∵BC=9，C（4，-2），
∴B（-5，-2），
设A（x，2），
∴AB==5，解得x=-2或x=-8（舍去），
∴A（-2，2），
设直线AB的解析式为y=kx+b，则，
解得，
故直线AB的解析式为：y=x+；

（2）如图2，
∵B（-5，-2），C（4，-2），
∴BE=5，CE=4，
设运动时间为t′秒，
当点G在E点左侧时，
S△HGE=（5-t′）×1=-（0≤t′＜5）；
当点G在E点右侧时，
S△HGE=（t′-5）×1=-（t′＞5）．