Question

已知AD⊥BC，BE=CE，∠ABC=2∠C，BF为∠B的平分线．
求证：AB=2DE．

Answer

连接EF．根据角平分线的性质知AF：FC=DE：EC，由平行线分线段成比例知AF：FC=DE：EC，由这两个比例式和已知条件“BE=CE”知AB=2EC•=2DE，即AB=2DE．
证明：连接EF．
∵∠ABC=2∠C，BF为∠B的平分线，
∴∠FBC=∠C=∠ABC，
∴BF=CF（等角对等边）；
又∵BE=CE（已知），
∴EF⊥BC；
∵AD⊥BC，
∴EF∥AD，
∴AF：FC=DE：EC（平行线分线段成比例）；
而AB：BC=AF：FC（角平分线的性质），
∴AB：BC=DE：EC（等量代换），
∴AB=2EC•=2DE，即AB=2DE．