Question

矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，且∠ADB=30°，∠ADC的平分线交BC于E，连接OE．
（1）求∠COE的度数．
（2）若AB=4，求OE的长．

Answer

（1）四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC”知∠CDE=∠CED=45°，又∠ADB=30°，所以∠CDO=60°，由矩形的特征“对角线互相平分”可知OD=OC，故△OCD是等边三角形，从而有OC=OD=CE，∠DCO=60°，∠OCB=30°，进而求得∠COE=75°；
（2）过O作OF⊥BC于F，利用已知条件求出BC和OF的值，再利用勾股定理即可求出OE的长．
【解析】
（1）∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，
∴∠CDE=∠CED=45°；
∴EC=DC，
又∵∠ADB=30°，
∴∠CDO=60°；
又∵因为矩形的对角线互相平分，
∴OD=OC；
∴△OCD是等边三角形；
∴∠DCO=60°，∠OCB=90°-∠DCO=30°；
∵DE平分∠ADC，∠ECD=90°，
∠CDE=∠CED=45°，
∴CD=CE=CO，
∴∠COE=∠CEO；
∴∠COE=（180°-30°）÷2=75°；

（2）过O作OF⊥BC于F，
∵AO=CO，
∴BF=CF，
∴OF=AB=2，
∵∠ADB=30°，AB=4，
∴AC=8，
∴BC==4，
∴BF=CF=2，
∵CD=CE=4，
∴EF=CE-CF=4-2，
在Rt△OFE中，
OE==4．