Question

如图（1）所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象的顶点为D点，与x轴交于A、B两点，点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），与y轴交于点C，且OB=OC，又tan∠ACO=．
①求这个函数的表达式．
②经过C．D两点的直线与x轴交于点E，在抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求点F的坐标．
③如图（2）所示，若G（2，t）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求此时P点的坐标和△APG的最大面积．

Answer

（1）根据已知条件，易求得C、A的坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）根据以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，由平行四边形的性质以及二次函数的性质得出AE=CF，AE∥CF即可得出答案．
（3）易求得AC的长，由于AC长为定值，当P到直线AG的距离最大时，△APG的面积最大．可过P作y轴的平行线，交AG于Q；设出P点坐标，根据直线AG的解析式可求出Q点坐标，也就求出PQ的长，进而可得出关于△APG的面积与P点坐标的函数关系式，根据函数的性质可求出△APG的最大面积及P点的坐标，根据此时△APG的面积和AG的长，即可求出P到直线AC的最大距离．
【解析】
（1）方法一：∵点B的坐标为（3，0），与y轴交于点C，且OB=OC，又tan∠ACO=．
∴tan∠ACO==，
∴AO=1，
∴C（0，-3），A（-1，0），
将A、B、C三点的坐标代入得，
解得：，
所以这个二次函数的表达式为：y=x2-2x-3
方法二：由已知得：C（0，-3），A（-1，0），
设该表达式为：y=a（x+1）（x-3），
将C点的坐标代入得：a=1，
所以这个二次函数的表达式为：y=x2-2x-3；
（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）

（2）如图，在y=x2-2x-3中，令x=0，得y=-3．
令y=0，得x2-2x-3=0，∴x1=-1，x2=3．
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）．
又y=（x-1）2-4，∴顶点D（1，-4）．
容易求得直线CD的表达式是y=-x-3．
在y=-x-3中，令y=0，得x=-3．
∴E（-3，0），
∴AE=2．
在y=x2-2x-3中，令y=-3，得x1=0，x2=2，
∴CF=2，
∴AE=CF．
∵AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，此时F（2，-3）．

（3）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，
易得G（2，-3），直线AG为y=-x-1；
设P（x，x2-2x-3），则Q（x，-x-1），PQ=-x2+x+2；
，
当时，△APG的面积最大为；
∵，P到AG的最大距离为，
此时P点的坐标为．