Question

如图，在平面直角坐标系中，B点在x轴的正半轴上，以OB为直径的半圆⊙A与直线BC切于B点，∠COB=30°，且OC交半圆⊙A于点D．
（1）求直线OC的解析式；
（2）若半圆⊙A的直径为2，求阴影部分的面积．

Answer

（1）首先根据锐角三角函数表示出C点横纵坐标，进而代入解析式得出k的值即可；
（2）根据圆的直径为2，分别得出S△OBC，S△ODA，S扇形DAB，再利用S阴影=S△OBC-S△ODA-S扇形DAB求出即可．
【解析】
（1）设直线OC的解析式为y=kx，设C点横坐标为a，则OB=a．
∵∠COB=30°，∴BC=atan30°=，
∴C（a，a），
∴a=ak，
∴k=，
故y=x；

（2）过A作AE⊥OD，垂足为E．
∵⊙A的直径为2，∴C点的坐标为（2，），
则BC=．连接DA，则∠DAB=2∠AOC=60°，
S扇形DAB==π，
则AE=OA=，OE=AE=，
∵OE=DE，
∴OD=，
S△ODA=×=，
则S阴影=S△OBC-S△ODA-S扇形DAB=．