Question

如图，边长为a的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形A′B′C′D′，图中阴影部分的面积为（ ）

A．a²
B．a²
C．（1-）a²
D．（1-）a²

Answer

设B′C′与CD交于点E．由于阴影部分的面积=S正方形ABCD-S四边形AB′ED，又S正方形ABCD=a 2，所以关键是求S四边形AB′ED．为此，连接AE．根据HL易证△AB′E≌△ADE，得出∠B′AE=∠DAE=30°．在直角△ADE中，由正切的定义得出DE=AD•tan∠DAE=a．再利用三角形的面积公式求出S四边形AB′ED=2S△ADE．
【解析】
设B′C′与CD交于点E，连接AE．
在△AB′E与△ADE中，∠AB′E=∠ADE=90°，
，
∴△AB′E≌△ADE（HL），
∴∠B′AE=∠DAE．
∵∠BAB′=30°，∠BAD=90°，
∴∠B′AE=∠DAE=30°，
∴DE=AD•tan∠DAE=a．
∴S四边形AB′ED=2S△ADE=2××a×a=a2．
∴阴影部分的面积=S正方形ABCD-S四边形AB′ED=（1-）a 2．
故选：D．