Question

如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交DC于点F，连接AF．设=k，下列结论：（1）△ABE∽△ECF，（2）AE平分∠BAF，（3）当k=1时，△ABE∽△ADF，其中结论正确的是（ ）

A．（1）（2）（3）
B．（1）（3）
C．（1）（2）
D．（2）（3）

Answer

（1）由四边形ABCD是矩形，可得∠B=∠C=90°，又由EF⊥AE，利用同角的余角相等，即可求得∠BAE=∠FEC，然后利用有两角对应相等的三角形相似，证得△ABE∽△ECF；
（2）由（1），根据相似三角形的对应边成比例，可得，又由E是BC的中点，即可得，继而可求得tan∠BAE=tan∠EAF，即可证得AE平分∠BAF；
（3）当k=1时，可得四边形ABCD是正方形，由（1）易求得CF：CD=1：4，继而可求得AB：CD与BE：DF的值，可得△ABE与△ADF不相似．
【解析】
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∴△ABE∽△ECF；
故（1）正确；

（2）∵△ABE∽△ECF，
∴，
∵E是BC的中点，
即BE=EC，
∴，
在Rt△ABE中，tan∠BAE=，
在Rt△AEF中，tan∠EAF=，
∴tan∠BAE=tan∠EAF，
∴∠BAE=∠EAF，
∴AE平分∠BAF；
故（2）正确；

（3）∵当k=1时，即=1，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，
∵△ABE∽△ECF，
∴=2，
∴CF=CD，
∴DF=CD，
∴AB：AD=1，BE：DF=2：3，
∴△ABE与△ADF不相似；
故（3）错误．
故选C．