Question

如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于点O．下列结论：①∠DOC=90°，②OC=OE，③tan∠OCD=，④S_△ODC=S_{四边形BEOF}中，正确的有（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

由正方形ABCD的边长为4，AE=BF=1，利用SAS易证得△EBC≌△FCD，然后全等三角形的对应角相等，易证得①∠DOC=90°正确；②由线段垂直平分线的性质与正方形的性质，可得②错误；易证得∠OCD=∠DFC，即可求得③正确；由①易证得④正确．
【解析】
∵正方形ABCD的边长为4，
∴BC=CD=4，∠B=∠DCF=90°，
∵AE=BF=1，
∴BE=CF=4-1=3，
在△EBC和△FCD中，
∵，
∴△EBC≌△FCD（SAS），
∴∠CFD=∠BEC，
∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°，
∴∠DOC=90°；
故①正确；
若OC=OE，
∵DF⊥EC，
∴CD=DE，
∵CD=AD＜DE（矛盾），
故②错误；
∵∠OCD+∠CDF=90°，∠CDF+∠DFC=90°，
∴∠OCD=∠DFC，
∴tan∠OCD=tan∠DFC==，
故③正确；
∵△EBC≌△FCD，
∴S△EBC=S△FCD，
∴S△EBC-S△FOC=S△FCD-S△FOC，
即S△ODC=S四边形BEOF．
故④正确．
故选C．