Question

如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C，BE⊥CD，垂足为E．连接AC、BC．
（Ⅰ）求证：BC平分∠ABE；
（Ⅱ）若∠A=60°，OA=2，求CE的长．

Answer

（1）利用切线的性质首先得出∠OCB=∠CBE，进而得出∠CBE=∠OBC即可求出BC平分∠ABE；
（2）首先利用锐角三角函数关系得出BC=AB•sinA=2×2×sin60°=，进而求出∠CBE=∠ABC=90°-∠A=30°，即可求出CE的长．
证明：（Ⅰ）∵CD是⊙O切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCB+∠BCE=90°，
∵BE⊥CD，
∴∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠OCB=∠CBE，
又∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠CBE=∠OBC，即BC平分∠ABE；

（Ⅱ）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，BC=AB•sinA=2×2×sin60°=，
在Rt△BCE中，∵∠CBE=∠ABC=90°-∠A=30°，
∴CE=BC=．