Question

用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图1，2中的一种）．

设竖档AB=x米，请根据以上图案回答下列问题：（题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD，AB平行）
（Ⅰ）在图1中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为3平方米？
（Ⅱ）在图2中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？

Answer

（1）先用含x的代数式（12-3x）÷3=4-x表示横档AD的长，然后根据矩形的面积公式列方程，求出x的值．
（2）用含x的代数式（12-4x）÷3=4-x表示横档AD的长，然后根据矩形面积公式得到二次函数，利用二次函数的性质，求出矩形的最大面积以及对应的x的值．
【解析】
（Ⅰ）由题意，BC的长为（4-x）米，
依题意，得x（4-x）=3，即x2-4x+3=0，
解得  x1=1，x2=3，
答：当AB的长度为1米或3米时，矩形框架ABCD的面积为3平方米．

（Ⅱ）根据题意，由图2得，
AD=（12-4x）÷3=4-x
∴S=AB•AD=x（4-x）=-x2+4x，
配方得s=-（x-）2+3，
∴当x=时，S取最大值3，
答：当x=时，矩形框架ABCD的面积最大，最大面积是3平方米．