Question

如图，△ABC中，∠B=∠C=30°，点D是BC边上一点，以AD为直径的⊙O恰与BC边相切，⊙O交AB于E，交AC于F．过O点的直线MN分别交线段BE和CF于M，N，若AN：NC=2：1，则AM：MB的值为（ ）

A．1：2
B．1：3
C．2：3
D．3：5

Answer

连接OE、OF．设AB=AC=x．根据等腰三角形的性质、切线的性质以及圆的对称性求得AE=OE=AF=OF=AB；然后由平行线的判定与平行线截线段成比例求得ME：AE=3：5，所以BM=AB-AM=x，据此可以求得AM：MB的值．
【解析】
连接OE、OF．
∵∠B=∠C=30°，
∴AB=AC（等角对等边）；
又∵AD是⊙O的直径，BC边且⊙O于点D，
∴AE=AF（⊙O的对称性），AD⊥BC（切线的性质），
∴∠DAB=∠DAC=60°（等腰三角形的性质）；
设AB=AC=x，则AD=AB=（30°所对的直角边是斜边的一半），
∴AE=OE=AF=OF=．
∵∠DAC=∠EOA=60°，
∴OE∥AC，
∴ME：MA=OE：AN；
∵AN：NC=2：1，
∴AN=x，
∴OE：AN=：x=3：8，
∴ME：（AE+EM）=3：8，
∴ME：AE=3：5，
∴AM=AE+ME=x，
∴BM=AB-AM=x，
∴AM：MB=2：3．
故选C．