Question

已知一个直角三角板PMN，∠MPN=30°，MN=2，使它的一边PN与正方形ABCD的一边AD重合（如图放置在正方形内）把三角板绕点P旋转，使点M落在直线BC上一点F处，则CF的长为    ．

Answer

解直角三角形求出正方形的边长AD的长度，然后分①点F在BC上，点N不在BC上时，根据旋转的性质可得AF=AM，A然后利用“HL”证明Rt△ABF和Rt△ADM全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=DM，从而得到CF=CM，然后求解即可；②点F、B都在直线BC上时，根据旋转的性质可得BF=DM，然后根据CF=BC+BF计算即可得解．
【解析】
∵∠MPN=30°，MN=2，
∴AD=MN•cot∠MPN=2×cot30°=2×=2，
①如图1，当点F在BC上，点N不在BC上时，根据旋转的性质AF=AM，
在Rt△ABF和Rt△ADM中，，
∴Rt△ABF≌Rt△ADM（HL），
∴BF=DM，
又∵BF=BC-CF，DM=CD-CM，
∴CF=CM=CD-DM=2-2；
②如图2，△PMN绕点P顺时针旋转90°时，点F、B都在直线BC上时，
根据旋转的性质，BF=MN=2，
所以，CF=BC+BF=2+2，
综上所述，CF的长为（2-2）或（2+2）．
故答案为：（2-2）或（2+2）．