Question

如图，双曲线与直线x=k相交于点P，过点P作PA⊥y轴于A，y轴上的点A₁、A₂、A₃…An的纵坐标是连续整数，分别过A₁、A₂…An作x轴的平行线于双曲线（x＞0）及直线x=k分别交于点B₁、B₂，…Bn，C₁、C₂，…Cn．
（1）求A的坐标；
（2）求及的值；
（3）猜想的值（直接写答案）．

Answer

（1）由于点P为双曲线与直线x=k的交点，则把x=k代入y=，得y=1，得到A点坐标为（0，1）；
（2）利用点A1、A2、A3…An的坐标是连续整数得到A1（0，2），A2（0，3），易得B1（），C1（k，2），B2（），C2（k，3），则得A1B1=，B1C1=，C2B2=，A2B2=，
于是可计算出求、的值；
（3）先得到An的坐标为（0，n+1），则Bn的坐标（），Cn的坐标为（k，n+1），所以AnBn=，BnCn=，易得的值．
【解析】
（1）把x=k代入y=，得y=1，
∵PA⊥y轴于A，
∴A点坐标为（0，1）；

（2）∵A1、A2…An的坐标为连续整数，
∴A1（0，2），A2（0，3）．
∴B1（），C1（k，2），B2（），C2（k，3）．
∴A1B1=，B1C1=，C2B2=，A2B2=，
∴=1，=2；

（3）=n．