Question

如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（ ）

A．35°
B．45°
C．50°
D．55°

Answer

延长PF交AB的延长线于点G．根据已知可得∠B，∠BEF，∠BFE的度数，再根据余角的性质可得到∠EPF的度数，从而不难求得∠FPC的度数．
【解析】
延长PF交AB的延长线于点G．
在△BGF与△CPF中，
，
∴△BGF≌△CPF，
∴GF=PF，
∴F为PG中点．
又∵由题可知，∠BEP=90°，
∴EF=PG（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∵PF=PG（中点定义），
∴EF=PF，
∴∠FEP=∠EPF，
∵∠BEP=∠EPC=90°，
∴∠BEP-∠FEP=∠EPC-∠EPF，即∠BEF=∠FPC，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，∠ABC=180°-∠A=70°，
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴BE=BF，∠BEF=∠BFE=（180°-70°）=55°，
∴∠FPC=55°．
故选D．