Question

图①至图③中，两平行线AB、CD间的距离均为6，点M为AB上一定点．扇形纸片OMP在AB、CD之间（包括AB、CD），扇形OMP的圆心角∠MOP=α，半径OM=4．如图①，扇形的半径OM在AB上．如图②③，将扇形纸片OMP绕点M在AB、CD之间顺时针旋转．
（Ⅰ）如图②，当α=60°时，在旋转过程中，点P到直线CD的最小距离是    ，旋转角∠BMO的最大值是    ；
（Ⅱ）如图③，在扇形纸片OMP旋转的过程中，要使点P落在直线CD上，α的最大值是    ．

Answer

（I）当PM⊥AB时，点P到AB的距离最大，此时点P到CD的距离最小，求出MP的长度后即可得出点P到直线CD的最小距离；当扇形MOP在AB，CD之间旋转到不能再转时，弧MP与AB相切，此时旋转角最大，也可求出最大值．
（II）点P是弧MP与CD的切点时，α最大，根据解直角三角形的知识，求出∠MOH的度数，继而可得出α的最大值．
【解析】
（I）∵α=60°，
∴△MOP是等边三角形，
∴MO=MP=4，
∴PM⊥AB时，点P到AB的最大距离是4，
由已知得出M与P的距离为4，
从而点P到CD的最小距离为6-4=2，
当扇形MOP在AB，CD之间旋转到不能再转时，弧MP与AB相切，
此时旋转角最大，∠BMO的最大值为90°；
（II）点P是弧MP与CD的切点时，α最大，即OP⊥CD，

∵OM=OP=4，
∴HM=2，
在RT△HMO中，OM=4，HM=2，
∴∠MOH=30°，
此时α=∠MOH+∠HOP=30°+90°=120°．
故答案为：2、90°；120°．