Question

如图，已知AB是⊙O的直径，AB=10，点P在AB的延长线上，直线PC与⊙O交于C、D两点，过点C作CE⊥AB，垂足为点E，且CE=4，连接AC、OC．
（1）求∠A的余切值；
（2）如果OC平分∠PCE，求CD的长．

Answer

（1）根据相似三角形的判定得出△ACE∽△CBE，进而求出AE即可得出∠A的余切值；
（2）利用角平分线的性质得出EO=MO，进而利用勾股定理得出CM的值，即可得出CD的长．
【解析】
（1）如图1，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠A+∠ACE=90°，∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠A=∠BCE，
∴△ACE∽△CBE，
∴=，
∴=，
解得：AE=2或8（结合图形，不合题意舍去），
∴∠A的余切值为：cotA===；

（2）如图2，过点O作OM⊥CD于点M，
∵OC平分∠PCE，CE⊥AO，OM⊥CD，
∴EO=MO，
∵AE=2，∴EO=AO-AE=5-2=3，MO=3，
CO=AB=5，
∴CM==4，
∴CD=4×2=8．