Question

如图，在△ABC中，点O在AB上，以O为圆心的圆经过A，C两点，交AB于点D，已知∠A=α，∠B=β，
且2α+β=90°．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若OA=6，sinβ=，求BC的长．

Answer

（1）连接OC，则可得出∠A=∠ACO，从而利用外角的知识可得∠BOC=2α，再由2α+β=90°可判断出∠OCB=90°，继而可判断出BC是⊙O的切线．
（2）由（1）可得OC=OA=6，OC⊥BC，利用sinβ==可求出OB的长度，在RT△OBC中利用勾股定理可得出BC的长度．
（1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=α，
∵∠BOC=∠A+∠ACO=2α，
∴∠BOC+∠B=2α+β=90°，
∴∠BCO=90°，即OC⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．

（2）【解析】
由（1）可得，OC=OA=6，OC⊥BC，
在Rt△BOC中，sinβ=，
∵sinβ=，
∴=，
∴OB=10，
∴BC===8．