Question

在平面直角坐标系中，把矩形OABC的边OA、OC分别放在x轴和y轴的正半轴上，已知OA=，OC=2．
（1）直接写出A、B、C三点的坐标；
（2）将矩形OABC绕点O逆时针旋转x°，得到矩形OA₁B₁C₁，其中点A的对应点为点A₁．
①当0＜x＜90时，设AC交OA₁于点K（如图1），若△OAK为等腰三角形，请直接写出x的值；
②当x=90时（如图2），延长AC交A₁C₁于点D，求证：AD⊥A₁C₁；
③当点B₁落在y轴正半轴上时（如图3），设BC与OA₁交于点P，求过点P的反比例函数的解析式；并探索：该反比例函数的图象是否经过矩形OABC的对称中心？请说明理由．

Answer

（1）由已知OA=，OC=2．可直接得出A、B、C三点的坐标；
（2）①根据△OAK为等腰三角形，利用等腰三角形的性质可求的x的值为30°或75；
②由题意得：△OAC≌△OA1C1．然后求证∠OAC+∠OC1A1=∠OA1C1+∠OC1A1=90°，得∠ADC1=90°即可，
③根据，利用三角函数求得∠A1OB1=30°，设反比例函数为，把代入，求得，然后可证反比例函数的图象不经过矩形OABC的对称中心．
【解析】
（1）A（），B（），C（0，2）．

（2）①x的值为30°或75°，
②由题意得：△OAC≌△OA1C1．
∴∠OAC=∠OA1C1．
∴∠OAC+∠OC1A1=∠OA1C1+∠OC1A1=90°，
∴∠ADC1=90°，
∴AD⊥A1C1
③在Rt△OA1B1中，
∵，
∴，
∴∠A1OB1=30°
在Rt△OCP中，
∴．
设反比例函数为，把代入，得，即．
设矩形OABC的对角线OB、AC相交于点Q，则Q是矩形OABC的对称中心，且点Q的坐标为．
把代入，得．
∴反比例函数的图象不经过矩形OABC的对称中心．