Question

如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、OE．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系并证明；
（2）求证：BC²=2CD•OE；
（3）若tanC=，DE=2，求AD的长．

Answer

（1）连接OD，BD，由AB是直径，根据圆周角定理的推论得到∠ADB=∠BDC=90°，由E是BC的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DE=BE=EC，则∠EBD=∠EDB，而∠OBD=∠ODB，
则有∠EDO=∠EBO=90°，根据切线的判定定理即可得到DE与⊙O相切；
（2）OE是△ABC的中位线，根据中位线性质得到AC=2OE，根据相似三角形的判定易证得Rt△ABC∽Rt△BDC，则=，即BC2=CD•AC，即可得到BC2=2CD•OE；
（3）由DE=BE=EC得到BC=2DE=4，在Rt△BDC中，根据正切的定义得到tanC==，则可设BD=x，CD=2x，然后利用勾股定理得到（x）2+（2x）2=42，解得x=±（负值舍去），则x=，
在Rt△ABD中，由于∠ABD=∠C，则tan∠ABD=tan∠C，再根据正切的定义得=，于是有AD=BD=．
（1）【解析】
DE与⊙O相切．理由如下：
连接OD，BD．
∵AB是直径，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
∵E是BC的中点，
∴DE=BE=EC，
∴∠EBD=∠EDB，
又∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠EDO=∠EBO=90°，即OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切；
（2）证明：∵E是BC的中点，O点是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴AC=2OE，
∵∠ACB=∠BCD，
∴Rt△ABC∽Rt△BDC，
∴=，即BC2=CD•AC，
∴BC2=2CD•OE；

（3）【解析】
在Rt△BDC中，
∵DE=BE=EC，
∴BC=2DE=4，
∵tanC==，
∴设BD=x，CD=2x，
∵BD2+CD2=BC2，
∴（x）2+（2x）2=42，
解得x=±（负值舍去），
∴x=，
∴BD=x=，
在Rt△ABD中，∵∠ABD=∠C，
∴tan∠ABD=tan∠C，
∴=，
∴AD=BD=．