Question

已知如图，矩形OABC的长OA=，宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△AFC．
（1）求过A、F、C三点的抛物线解析式；
（2）设（1）中的抛物线与矩形OABC边CB相交于点D，与x轴相交于另外一点E，若点M是x轴上的点，N是y轴上的点，若以点E、M、D、N为顶点的四边形是平行四边形，试求点M、N的坐标；
（3）若动点P以每秒个单位长度的速度从C点出发沿CB 向终点B运动，同时动点Q从A点出发以每秒个单位长度的速度沿射线AO运动，当P运动到B点时，P，Q同时停止运动．当点P运动时间t（秒）为何值时，以P、C、O为顶点的三角形与以Q、O、C为顶点的三角形相似？

Answer

（1）根据矩形的边长求得点F的坐标，利用待定系数法求得抛物线的解析式即可；
（2）首先求得抛物线与x轴的交点E的坐标，然后分当DN∥EM且DN=EM时和当M在E点右侧时求得M、N的坐标即可；
（3）若以P、C、Q为顶点的三角形与△QOC相似，因∠POC=∠QCO=90°，则有CQ=OP或OC2=CQ•OP．然后分当P、Q在y轴同侧时和当P、Q在y轴异侧时利用相似三角形的性质列出有关t的方程求解即可．
【解析】
（1）∵OA=，OC=1，
∴tan∠OAC=．
∴∠OAC=30°∠ACF=∠ACO=60°…（1分）
过F作FM⊥OA于M，交CB于G，则FG⊥CD．
∠GCF=30°，GF=CF=OC=．
CG=．
∴F（，）…（2分）
设过 A、B、C三点抛物线解析式为y=ax2+bx+c．
∴c=1
∴…（3分）
解之，得
∴．…（4分）

（2）∵由，得x1=，x2=．
∴E（，0）…（5分）
由，得x1=0，x2=．
∴D（，1）．…（6分）
①当DN∥EM且DN=EM时，当M在E点左侧时，M1（，0），此时N1（0，1）…（7分）
当M在E点右侧时，OM2=．
∴M2（，0），此时N2（0，1）…（8分）
②当ED∥MN且ED=MN时，过D作DH⊥OA于H，M3（，0），N3（0，-1）…（9分）

（3）若以P、C、Q为顶点的三角形与△QOC相似，因∠POC=∠QCO=90°，则有
CQ=OP或OC2=CQ•OP．
当P、Q在y轴同侧时：
由，得t=．…（10分）
由，得  2t2-2t+1=0．
△=4-8=-4＜0，故无解．
当P、Q在y轴异侧时：
由，得t=3＞，不合题意，舍去…（11分）
由，得2t2-2t-1=0.＜0舍去，

∴t=或…（12分）