Question

如图，在直角坐标平面中，O为原点，A（0，6），B（8，0）．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AO方向运动，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动．
P、Q两动点同时出发，设移动时间为t（t＞0）秒．
（1）在点P、Q的运动过程中，若△POQ与△AOB相似，求t的值；
（2）如图（2），当直线PQ与线段AB交于点M，且时，求直线PQ的解析式；
（3）以点O为圆心，OP长为半径画⊙O，以点B为圆心，BQ长为半径画⊙B，讨论⊙O和⊙B的位置关系，并直接写出相应t的取值范围．

Answer

（1）分别表示出OP，OQ的长度，再分OP与OA，OP与OB是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式进行计算即可得解；
（2）过点M分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为N、G，然后平行线分线段成比例定理列式求出MN、MG的长度，从而得到点M的坐标，然后在Rt△MQN中与Rt△PQO中，利用同一个角∠MQN与∠PQO的正切值相等列出方程求解得到t的值，然后求出点P的坐标，再利用待定系数法求直线函数解析式解答；
（3）表示出OP、BQ的长度，然后根据实际意义求出两圆外切与内切时t的值，再写出两圆外离、相交、内含时的t的取值范围即可．
【解析】
（1）根据题意，t秒时，AP=2t，BQ=t，OP=|6-2t|，OQ=8+t．
分两种情况：
①若△POQ∽△AOB，则当OP与OA是对应边时，
=，即=，
所以，8（6-2t）=6（8+t）或8（2t-6）=6（8+t），
整理得，解得t=0（舍去），t=；
②若△POQ∽△BOA，则当OP与OB是对应边时，
=，即=，
所以，6（6-2t）=8（8+t）或6（2t-6）=8（8+t），
整理得，t=-（舍去），t=25，
所以，当t=或25时，△POQ∽△AOB；

（2）过M分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为N、G．
∵PO∥MN，∴=，
∵=，∴=，
∴=，
∵OA=6，∴MN=1，
同理MG=OB，
∵OB=8，∴MG=，
∴点M的坐标为（，1），
∵OQ=8+t，
∴NQ=8+t-=+t，
在Rt△MNQ中，tan∠MQN==，
在Rt△OPQ中，tan∠PQO==，
∴=，
整理得，6t2-7t=0，
解得t=，t=0（舍去），
OP=6-2×=，
∴点P的坐标为P（0，）．
设PQ直线解析式为y=kx+b，
则，解得，
∴PQ直线解析式：y=-x+；

（3）|6-2t|+t=8时，6-2t+t=8或2t-6+t=8，
解得t=-2（舍去），t=，
|6-2t|-t=8时，6-2t-t=8或2t-6-t=8，
解得t=-（舍去），t=14，
又当t=3时，OP=0，⊙O不存在，
所以，①当0＜t＜且t≠3时，两圆外离；
②当t=时，两圆外切；
③当＜t＜14时，两圆相交；
④当t=14时，两圆内切；
⑤当t＞14时，两圆内含．（每个结果（1分），共5分）