Question

如图．直线y=-x+b（b＞0）与双曲线y=（k＞0）交于A、B两点，连接OA、OB，AM⊥y轴于点M． BN⊥x轴于点N，以下结论错误的是（ ）

A．OA=OB
B．△AOM≌△BON
C．当AB=时，ON=BN=l
D．若∠AOB=45°，则S_△AOB=k

Answer

首先设A（x1，y1），B（x2，y2），联立y=-x+b与y=，得x2-bx+k=0，则x1•x2=k，又x1•y1=k，比较可知x2=y1，同理可得x1=y2，即ON=OM，AM=BN，可证结论；
再利用作OH⊥AB，垂足为H，根据对称性可证△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，可证S△AOB=k；最后延长MA，NB交于G点，可证△ABG为等腰直角三角形，当AB=时，GA=GB=1，则ON-BN=GN-BN=GB=1即可得出命题正确与否．
【解析】
设A（x1，y1），B（x2，y2），代入y=中，得x1•y1=x2•y2=k，
联立，得x2-bx+k=0，
则x1•x2=k，又x1•y1=k，
∴x2=y1，
同理x2•y2=k，
可得x1=y2，
∴ON=OM，AM=BN，
∴①OA=OB，②△AOM≌△BON，故此选项正确；
③作OH⊥AB，垂足为H，
∵OA=OB，∠AOB=45°，
∵②△AOM≌△BON，正确；
∴∠MOA=∠BON=22.5°，
∠AOH=∠BOH=22.5°，
∴△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，
∴S△AOB=S△AOH+S△BOH=S△AOM+S△BON=k+k=k，故此选项正确；
④延长MA，NB交于G点，
∵NG=OM=ON=MG，BN=AM，
∴GB=GA，
∴△ABG为等腰直角三角形，
当AB=时，GA=GB=1，
∴ON-BN=GN-BN=GB=1，
∴ON=BN=l错误．
故选C．