Question

如图，已知矩形OABC，点P在边OA上（不与端点重合），点Q在边CO上（不与端点重合）．
（1）如图（1），若∠BPQ=90°，且△OPQ与△PAB和△QPB相似，请写出表示这三个三角形相似的式子，并探究此时线段OQ、QB、BA之间的数量关系．
（2）若∠PQB=90°，且△OPQ与△PAB、△QPB都相似，如图（2），请重新写出表示这三个三角形相似的式子，并证明AB：OA=2：3．
（3）在（1）中，若OA=8，OC=8，OP=CQ．以矩形OABC的两边OA、OC所在的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，如图（3），若某抛物线顶点为P，点B在抛物线上．
①求此抛物线的解析式．
②过线段BP上一动点M（点M与点P、B不重合），作y轴的平行线交抛物线于点N，若记点M的横坐标为m，试求线段MN的长L与m之间的函数关系式，画出该函数的示意图，并指出m取何值时，L有最大值，最大值是多少？

Answer

（1）要写成三个三角形相似的式子，需要先找出相等的对应角，首先由BC∥OA，确定∠CBP=∠BPA＞∠QBP，那么三个相似三角形的一组对应角应该是：∠QBP、∠QPO、∠ABP，显然能得出∠QBP=∠ABP、∠OQP=∠BQP，那么过P作BQ的垂线，根据角平分线定理即可判断出OQ、QB、BA三者之间的数量关系．
（2）同（1），先根据图示确定相似三角形的对应角，然后根据三个三角形的对应顶点写出三角形相似的式子；在△BQP、△BPA中，有公共边BP，可确定两者全等，那么BQ=AB，因此确定出∠CBQ的度数，即可确定AB、BC（OA）的比例关系，那么可以从△OQP、△CQB、△ABP这三个相似三角形入手．
（3）①首先结合（1）的解题过程，确定OP的长，进而得出点P的坐标，再利用待定系数法确定抛物线的解析式；
②首先利用待定系数法求出直线BP的解析式，然后根据直线BP、抛物线的解析式，用点M的横坐标表示出点M、N的纵坐标，两点纵坐标的差即为L的函数表达式，再根据函数的性质进行判断即可．
【解析】
（1）△OPQ和△ABP中，∵∠OPQ+∠APB=90°，且∠APB+∠ABP=90°，
∴∠OPQ=∠ABP；
△BPQ和△ABP中，∵BC∥OA，∴∠APB=∠CBP＞∠PBQ，
若两个三角形相似，则：∠PBQ=∠ABP；
∴∠OPQ=∠ABP=∠PBQ
又∵∠O=∠A=∠QPB=90°，
∴△OPQ∽△ABP∽△PBQ．
在△OPQ和△PBQ中，∠OQP=∠PQB，过P作PD⊥BQ于D，则 OQ=QD；
同理，可得：BD=AB，
∴BQ=QD+BD=OQ+AB．

（2）同（1）可确定∠QBP=∠ABP，由图知：∠QPO=∠BPA
∴∠OQP=∠ABP=∠QBP，又∠BQP=∠QOP=∠BAP=90°
∴△OPQ∽△APB∽△QPB．
由（1）的结论知：∠OQP=∠QBC=∠QBP=∠ABP，且∠ABC=90°，
∴∠QBC=30°，则 BQ：CB=2：=2：3；
由△QPB∽△APB，且BP=BP，所以△QPB≌△APB，得：AB=BQ；
∴AB：BC=2：3，即 AB：OA=2：3．

（3）①由（1）的解答过程知：若△OPQ与△PAB和△QPB相似，则必须满足的条件是∠QPB=90゜；
此时∠OQP=∠BQP、∠QBP=∠ABP，由（1）题图可知：OP=AP=PD；
∴OP=AP=OA=4，即 P（4，0）；
设抛物线的解析式为：y=a（x-4）2，代入点B（8，8），得：
a（8-4）2=8，解得 a=
∴抛物线的解析式为：y=（x-4）2=x2-2x+8．
②设直线BP的解析式为：y=kx+b，代入B（8，8）、P（4，0），得：
，解得
∴直线BP：y=x-8．
已知点M的横坐标为m，则 M（m，m-8）、N（m，m2-2m+8），则有：
MN的长：L=m-8-（m2-2m+8）=-m2+3m-16（4＜m＜8）（如右图）
配方，得：L=-（m2-12m+72）+2=-（m-6）2+2，
∴当m取6时，L有最大值，且最大值为 2．