Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点M，MN⊥AC于点N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）若∠BAC=120°，AB=2，求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）有切点，需连半径，证明垂直，即可；
（2）求阴影部分的面积要把它转化成S梯形ANMO-S扇形OAM，再分别求的这两部分的面积求解．
（1）证明：连接OM．
∵OM=OB，
∴∠B=∠OMB．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∴∠OMB=∠C．
∴OM∥AC．
∵MN⊥AC，
∴OM⊥MN．
∵点M在⊙O上，
∴MN是⊙O的切线．（5分）

（2）【解析】
连接AM．
∵AB为直径，点M在⊙O上，
∴∠AMB=90°．
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°．
∴∠AOM=60°．
又∵在Rt△AMC中，MN⊥AC于点N，
∴∠AMN=30°．
∴AN=AM•sin∠AMN=AC•sin30°•sin30°=．
∴MN=AM•cos∠AMN=AC•sin30°•cos30°=．  （8分）
∴S梯形ANMO=，
S扇形OAM=，
∴S阴影==-．    （11分）