Question

已知：如图，点C是线段AB上的任意一点（点C与A、B点不重合），分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE，AE与CD相交于点M，BD和CE相交于点N．
（1）求证：△ACE≌△DCB；
（2）如果AB的长为10cm，MN=ycm，AC=xcm．
①请写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
②当点C在何处时MN的长度最长？并求MN的最大长度．

Answer

（1）先根据△ACD和△BCE是等边三角形可得出AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，故可得出∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，∠DCB=∠ACE，由SAS定理即可得出结论；
（2）①由（1）中的结论得出△ACM≌△DCN，即CM=CN，△MCN是等边三角形可得出MN∥AB，可先假设其存在，设AC=x，MN=y，进而由平行线分线段成比例即可得出结论；
②由①中y与x的函数关系式可直接得出结论．
（1）证明：∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，∠DCB=∠ACE，
在△ACE与△DCB中，
∵，
∴△ACE≌△DCB；

（2）①∵△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠BDC，
∴△ACM≌△DCN，
∴CM=CN，
又∵∠MCN=180°-60°-60°=60°，
∴△MCN是等边三角形，
∴∠MNC=∠NCB=60°，
∴MN∥AB．
∴=，
∵AB的长为10cm，MN=ycm，AC=xcm．
∴=，即y=-x2+x（0＜x＜10）；

②∵由①可知，y=-x2+x（0＜x＜10），即y=-（x-5）2+2.5；
∴当x=5时，MN的值最大，MN的最大长度为2.5cm，即当C点是AB中点时，线段MN的最大长度是2.5cm．