Question

如图1，已知双曲线y=（k₁＞0）与直线y=k₂x交于A、B两点，点A在第一象限．试解答下列问题：
（1）若点A坐标为（4，2），则B点坐标为______．若点A的横坐标为m，则B点坐标为______（用含m和k₁或k₂的式子表示）；
（2）如图2，过原点作另一条直线l，交双曲线y=（k₁＞0）于P、Q两点，说明四边形APBQ是平行四边形；
（3）设点A、P的横坐标分别为m、n，四边形APBQ可能是矩形吗？可能是正方形吗？若可能，直接写出m、n应满足的条件；若不可能，请说明理由．

Answer

（1）由图象性质可知，点A、B关于坐标原点对称，由此可以求出A可求B坐标；
（2）根据勾股定理或对称性易知OA=OB，OP=OQ因此四边形APBQ一定是平行四边形；
（3）根据矩形的性质和正方形的性质可以推出它们的可能性．
【解析】
（1）∵双曲线和直线y=k2x都是关于原点的中心对称图形，它们交于A，B两点，
∴B的坐标为（-4，-2），
（-m，-k2m）或（-m，-）；
故答案为：（-4，-2）；（-m，-k2m）或（-m，-）．

（2）由勾股定理OA=，
OB==，
∴OA=OB．
同理可得OP=OQ，
所以四边形APBQ一定是平行四边形；

（3）设点A、P横坐标分别为：m，n，
由（1）可知A点坐标为（m，），点P坐标为：（n，），
要OP=OA，
只要m2+=n2+，
可得mn=k1（∵m、n、k1均为正数），
∴当mn=k1时，OP=OA，
此时PQ=AB，四边形APBQ是矩形；
四边形APBQ不可能是正方形，
理由：点A，P不可能达到坐标轴，即∠POA≠90°．