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在矩形ABCD中,点E是AD边上一点,连接BE,且∠ABE=30°,BE=DE,...

在矩形ABCD中,点E是AD边上一点,连接BE,且∠ABE=30°,BE=DE,连接BD.点P从点E出发沿射线ED运动,过点P作PQ∥BD交直线BE于点Q.
(1)当点P在线段ED上时(如图1),求证:BE=PD+manfen5.com 满分网PQ;
(2)若BC=6,设PQ长为x,以P、Q、D三点为顶点所构成的三角形面积为y,求y与x的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围);
(3)在②的条件下,当点P运动到线段ED的中点时,连接QC,过点P作PF⊥QC,垂足为F,PF交对角线BD于点G(如图2),求线段PG的长.
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(1)过点E作EM⊥QP垂足为M;在Rt△EQP中,易得∠EBD=∠EDB=30°;进而可得PE=PQ,且BE=DE.故可证得BE=PD+PQ. (2)点P从点E出发沿射线ED运动,所以分当点P在线段ED上时与当点P在线段ED的延长线上时两种情况讨论,根据所作的辅助线,可得y与x的关系; (3)连接PC交BD于点N,可得∠QPC=90°,进而可得△PNG∽△QPC;可得;解可得PG的长. (1)证明:∵∠A=90°∠ABE=30°, ∴∠AEB=60°. ∵EB=ED, ∴∠EBD=∠EDB=30°. ∵PQ∥BD, ∴∠EQP=∠EBD. ∠EPQ=∠EDB. ∴∠EPQ=∠EQP=30°, ∴EQ=EP.                                      (1分) 过点E作EM⊥QP垂足为M.则PQ=2PM. ∵∠EPM=30°,∴PM=PE,PE=PQ.             (1分) ∵BE=DE=PD+PE, ∴BE=PD+PQ.                                (1分) (2)【解析】 由题意知AE=BE, ∴DE=BE=2AE. ∵AD=BC=6, ∴2AE=DE=BE=4.                               (1分) 当点P在线段ED上时(如图1), 过点Q做QH⊥AD于点H,则QH=PQ=x. 由(1)得PD=BE-x,PD=4-x. ∴y=PD•QH=.                        (1分) 当点P在线段ED的延长线上时(如图2), 过点Q作QH′⊥DA交DA延长线于点H′,∴QH′=x. 过点E作EM′⊥PQ于点M′,同理可得EP=EQ=PQ, ∴BE=PQ-PD, ∴PD=x-4, ∴y=PD•QH′=.              (1分) (3)【解析】 连接PC交BD于点N(如图3). ∵点P是线段ED中点, ∴EP=PD=2,PQ=. ∵DC=AB=AE•tan60°=, ∴PC==4. ∴cos∠DPC==. ∴∠DPC=60°. ∴∠QPC=180°-∠EPQ-∠DPC=90°.             (1分) ∵PQ∥BD, ∴∠PND=∠QPC=90°. ∴PN=PD=1.                                 (1分) QC==. ∵∠PGN=90°-∠FPC,∠PCF=90°-∠FPC, ∴∠PGN=∠PCF.                              (1分) ∵∠PNG=∠QPC=90°, ∴△PNG∽△QPC, ∴, ∴PG==.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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