Question

如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD．延长PD交圆的切线BE于点E
（1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；
（2）如果∠BED=60°，，求PA的长．
（3）将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．

Answer

（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；
（2）根据BE是⊙O的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD为⊙O的切线，得∠PDO=90°，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；
（3）根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，由AB是圆O的直径，得∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，由圆内接四边形的性质得出x的值，可得出△BDE是等边三角形．进而证出四边形DFBE为菱形．
（1）【解析】
直线PD为⊙O的切线（1分）
证明：如图1，连接OD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°（2分）
∴∠ADO+∠BDO=90°，
又∵DO=BO，∴∠BDO=∠PBD
∵∠PDA=∠PBD，∴∠BDO=∠PDA（3分）
∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD（4分）
∵点D在⊙O上，∴直线PD为⊙O的切线．（5分）

（2）【解析】
∵BE是⊙O的切线，∴∠EBA=90°
∵∠BED=60°，∴∠P=30°（6分）
∵PD为⊙O的切线，∴∠PDO=90°
在Rt△PDO中，∠P=30°，
∴，解得OD=1（7分）
∴（8分）
∴PA=PO-AO=2-1=1（9分）

（3）（方法一）证明：如图2，依题意得：∠ADF=∠PDA，∠PAD=∠DAF
∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF
∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF（10分）
∵AB是圆O的直径∴∠ADB=90°
设∠PBD=x°，则∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°
∵四边形AFBD内接于⊙O，∴∠DAF+∠DBF=180°
即90°+x+2x=180°，解得x=30°
∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°（11分）
∵BE、ED是⊙O的切线，∴DE=BE，∠EBA=90°
∴∠DBE=60°，∴△BDE是等边三角形．
∴BD=DE=BE（12分）
又∵∠FDB=∠ADB-∠ADF=90°-30°=60°∠DBF=2x°=60°
∴△BDF是等边三角形．∴BD=DF=BF（13分）
∴DE=BE=DF=BF，∴四边形DFBE为菱形（14分）

（方法二）证明：如图3，依题意得：∠ADF=∠PDA，∠APD=∠AFD，
∵∠PDA=∠PBD，∠ADF=∠ABF，∠PAD=∠DAF，
∴∠ADF=∠AFD=∠BPD=∠ABF（10分）
∴AD=AF，BF∥PD（11分）
∴DF⊥PB∵BE为切线∴BE⊥PB
∴DF∥BE（12分）
∴四边形DFBE为平行四边形（13分）
∵PE、BE为切线∴BE=DE
∴四边形DFBE为菱形（14分）