Question

在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为E，F．
（1）求证：△FOE≌△DOC；
（2）求sin∠OEF的值；
（3）若直线EF与线段AD，BC分别相交于点G，H，求的值．

Answer

（1）由EF是△OAB的中位线，利用中位线定理，得EF∥AB，EF=AB，又CD∥AB，CD=AB，可得EF=CD，由平行线的性质可证△FOE≌△DOC；
（2）由平行线的性质可知∠OEF=∠CAB，利用sin∠OEF=sin∠CAB=，由勾股定理得出AC与BC的关系，再求正弦值；
（3）由（1）可知AE=OE=OC，EF∥CD，则△AEG∽△ACD，利用相似比可得EG=CD，同理得FH=CD，又AB=2CD，代入中求值．
（1）证明：∵EF是△OAB的中位线，
∴EF∥AB，EF=AB，
而CD∥AB，CD=AB，
∴EF=CD，∠OEF=∠OCD，∠OFE=∠ODC，
∴△FOE≌△DOC；

（2）【解析】
∵EF∥AB，
∴∠OEF=∠CAB，
∵在Rt△ABC中，AC===BC，
∴sin∠OEF=sin∠CAB===；

（3）【解析】
∵AE=OE=OC，EF∥CD，
∴△AEG∽△ACD，
∴==，即EG=CD，
同理FH=CD，
∴==．