Question

已知关于x的一元二次方程x²-2x-a²-a=0（a＞0）．
（1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；
（2）若对于a=1，2，3，…，2010，2011时，相应得到的一元二次方程的两根分别为α₁和β₁，α₂和β₂，α₃和β₃，…，α₂₀₁₀和β₂₀₁₀，α₂₀₁₁和β₂₀₁₁，试求的值．

Answer

（1）设方程的两根是α1，β1，得出α1+β1=2，α1•β1=-a2-a，代入（α1-2）（β1-2），=α1β1-2（α1+β1）+4，求出其结果是-a2-a，求出-a2-a＜0即可；
（2）得出α1+β1=2，α1•β1=-a2-a=-a（a+1），把变形为+++…+，代入后得出-2×（1-+-+-+…+-），推出-2×（1-），求出即可．
（1）证明：设方程的两根是α1，β1，
则α1+β1=2，α1•β1=-a2-a，
∴（α1-2）（β1-2）
=α1β1-2（α1+β1）+4
=-a2-a-2×2+4
=-a2-a，
∵a＞0，
∴-a2-a＜0，
即这个方程的一根大于2，一根小于2．

（2）【解析】
∵α1+β1=2，α1•β1=-a2-a=-a（a+1）
∵对于a=1，2，3，…，2010，2011时，相应得到的一元二次方程的两根分别为α1和β1，α2和β2，α3和β3，…，α2010和β2010，α2011和β2011，
∴
=++++++…++++
=+++…+
=+++…+
=-2×（+++…+）
=-2×（1-+-+-+…+-）
=-2×（1-）
=-．