Question

已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），设四边形APQC的面积为y（cm²）
（1）求y与t的关系式；
（2）如果△PBQ是直角三角形，求：四边形APQC的面积；
（3）是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由．

Answer

（1）过P作PM⊥BC于M，过A作AD⊥BC于D，根据等边三角形性质求出求出BD，根据勾股定理求出AD，求出△ABC的面积，根据sin60°=，求出PM，求出△PBQ的面积，相减即可求出答案；
（2）分为两种情况：①当∠PQB=90°时，根据cosB=，代入求出t；②当∠QPB=90°时，根据cosB=，代入求出t，分别把t的值代入（1）求出的函数解析式，即可求出答案；
（3）假设存在，根据题意得出方程t2-t+=××3×，求出方程的b2-4ac，看看是否大于等于0，即可根据判别式判断方程是否有解，根据方程解得情况判断即可．
（1）【解析】
过P作PM⊥BC于M，过A作AD⊥BC于D，
∵三角形ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，BD=CD=，
由勾股定理得：AD=，
∵sin60°=，
∴=，
∴PM=（3-t），
∴y=S△ABC-S△PBQ，
=BC×AD-BQ×PM，
=×3×-×t×（3-t），
=t2-t+，
即y=t2-t+；

（2）【解析】
分为两种情况：①如图，当∠PQB=90°时，cosB=，
=
t=1，
y=×1-×1+=；

②如图，当∠QPB=90°时，cosB=，

=，
t=2，
y=×4-×2+=；
答：四边形APQC的面积是；

（3）【解析】
不存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二，
理由是：假设存在t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二，
则t2-t+=××3×，
t2-3t+3=0，
b2-4ac=（-3）2-4×1×3=-3＜0，
此方程无解，
即不存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二．