Question

已知关于x的方程x²+2（k-3）x+k²=0有两个实数根x₁、x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）若|x₁+x₂-9|=x₁x₂，求k的值．

Answer

（1）根据一元二次方程的根的判别式△=b2-4ac＞0来求k的取值范围；
（2）利用韦达定理求的关于k的一元二次方程|2k+3|=k2；然后根据（1）的k的取值范围，需要对其分类讨论：①当2k+3≥0，即k≥-时，2k+3=k2，通过解方程求的k的值即可；②当2k+3＜0，即k＜-时，-2k-3=k2，通过解方程求的k的值即可．
【解析】
（1）根据题意，得△≥0，
即[2（k-3）]2-4k2≥0，
解得，k≤；

（2）根据韦达定理，得
x1+x2=-2（k-3），x1x2=k2，
∴由|x1+x2-9|=x1x2，得
|-2（k-3）-9|=k2，即|2k+3|=k2，
以下分两种情况讨论：
①当2k+3≥0，即k≥-时，2k+3=k2，
即k2-2k-3=0，
解得，k1=-1，k2=3；
又由（1）知，k≤，
∴-≤k≤，
∴k2=3不合题意，舍去，
即k1=-1；
②当2k+3＜0，即k＜-时，-2k-3=k2，
即k2+2k+3=0，此方程无实数解．
综合①②可知，k=-1．