Question

如图（1），矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD，使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m，0），其中m＞0．
（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；
（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；
（3）如图（2），设抛物线y=a（x-m-6）²+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM=90°，求a、h、m的值．

Answer

（1）根据四边形ABCD是矩形以及由折叠对称性得出AF=AD=10，EF=DE，进而求出BF的长，即可得出E，F点的坐标；
（2）分三种情况讨论：若AO=AF，OF=FA，AO=OF，利用勾股定理求出即可；
（3）由E（m+10，3），A（m，8），代入二次函数解析式得出M点的坐标，再利用△AOB∽△AMG，求出m的值即可．
【解析】
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=CB=10，AB=DC=8，∠D=∠DCB=∠ABC=90°，
由折叠对称性：AF=AD=10，EF=DE，
在Rt△ABF中，BF===6，
∴CF=4，
设EF=x，则EC=8-x，
在Rt△ECF中，42+（8-x）2=x2，
解得：x=5，
∴CE=3，
∵B（m，0），
∴E（m+10，3），F（m+6，0）；

（2）分三种情况讨论：
若AO=AF，
∵AB⊥OF，
∴BO=BF=6，
∴m=6，
若OF=FA，则m+6=10，
解得：m=4，
若AO=OF，在Rt△AOB中，AO2=OB2+AB2=m2+64，
∴（m+6）2=m2+64，
解得：m=，
∴m=6或4或；

（3）由（1）知：E（m+10，3），A（m，8）．
∴，
得，
∴M（m+6，-1），
设对称轴交AD于G，
∴G（m+6，8），
∴AG=6，GM=8-（-1）=9，
∵∠OAB+∠BAM=90°，∠BAM+∠MAG=90°，
∴∠OAB=∠MAG，
∵∠ABO=∠MGA=90°，
∴△AOB∽△AMG，
∴=，
即：，
∴m=12，