Question

如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．
（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；
（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；
（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变？若∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．

Answer

（1）根据三角形判定方法进行证明即可．
（2）作FH⊥MN于H．先证△ABE≌△EHF，得到对应边相等，从而推出△CHF是等腰直角三角形，∠FCH的度数就可以求得了．
（3）本题也是通过构建直角三角形来求度数，作FH⊥MN于H，∠FCH的正切值就是FH：CH．
（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD，
∴∠BAE=∠DAG，
∴△BAE≌△DAG．

（2）【解析】
∠FCN=45°，
理由是：作FH⊥MN于H，
∵∠AEF=∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，
∴∠FEH=∠BAE，
又∵AE=EF，∠EHF=∠EBA=90°，
∴△EFH≌△ABE，
∴FH=BE，EH=AB=BC，
∴CH=BE=FH，
∵∠FHC=90°，
∴∠FCN=45°．

（3）【解析】
当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，
理由是：作FH⊥MN于H，
由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°，
结合（1）（2）得∠FEH=∠BAE=∠DAG，
又∵G在射线CD上，
∠GDA=∠EHF=∠EBA=90°，
∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，
∴EH=AD=BC=b，
∴CH=BE，
∴==；
在Rt△FEH中，tan∠FCN===，
∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN=．