Question

如图，△ABC中，AB=BC=5，AC=6，过点A作AD∥BC，点P、Q分别是射线AD、线段BA上的动点，且AP=BQ，过点P作PE∥AC交线段AQ于点O，连接PQ，设△POQ面积为y，AP=x．
（1）用x的代数式表示PO；
（2）求y与x的函数关系式，并写出定义域；
（3）连接QE，若△PQE与△POQ相似，求AP的长．

Answer

（1）首先根据AD∥BC，PE∥AC，判定四边形APEC是平行四边形，从而得到AC=PE=6，AP=EC=x，然后根据平行线分线段成比例定理列出比例式用含x的代数式表示PO；
（2）根据AB=BC=5，利用等边对等角得到∠BAC=∠BCA，再根据∠APE=∠BCA，∠AOP=∠BCA，得到∠APE=∠AOP，设AP=AO=x，用含x的式子表示OQ=5-2x，利用△OHQ∽△AFB表示出y与x的函数关系式即可；
（3）根据当时，由AP=BQ=x，AQ=BE=5-x，∠PAQ=∠QBE可得△PAQ≌△QBE，于是PQ=QE，可得若△PQE与△POQ相似，只有△PQE∽△POQ，于是得，解得x的值即可．
【解析】
（1）∵AD∥BC，PE∥AC，
∴四边形APEC是平行四边形，
∴AC=PE=6，AP=EC=x，
∵，
∴=，
∴；

（2）∵AB=BC=5，
∴∠BAC=∠BCA
又∠APE=∠BCA，∠AOP=∠BCA，
∴∠APE=∠AOP，
∴AP=AO=x，
∴当时，OQ=5-2x；
作BF⊥AC，QH⊥PE，垂足分别为点F、H，
则易得AF=CF=3，AB=5，BF=4．
∵∠OHQ=∠AFB=90°，∠QOH=∠BAF，
∴△OHQ∽△AFB，
∴，
∴，
∴，
∴，
所以y与x的函数关系式是；

（3）当时，
由AP=BQ=x，AQ=BE=5-x，∠PAQ=∠QBE，
可得△PAQ≌△QBE，于是PQ=QE，
由于∠QPO=∠EPQ，
所以若△PQE与△POQ相似，只有△PQE∽△POQ，
可得OP=OQ，
于是得，
解得，
同理当，
可得（不合题意，舍去）．
所以，若△PQE与△POQ相似，AP的长为．