Question

已知：如图，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC于点F．
（1）求证：△ADE∽△BEF；
（2）设正方形的边长为4，AE=x，BF=y．当x取什么值时，y有最大值？并求出这个最大值；
（3）在（2）的条件下，当1＜x＜2时，求y的取值范围．

Answer

（1）由四边形ABCD是正方形可以得出∠A=∠B=90°，由EF⊥DE可以得出∠DEF=90°，从而可以证明∠AED=∠BFE，从而可以证明△ADE∽△BEF；
（2）由（1）可以得出，再由正方形的边长为4，AE=x，BF=y代入比例式就可以把y的解析式表示出来，化成顶点式就可以求出其最值．
（3）将x的取值范围代入（2）的解析式就可以求出y的范围．
【解析】
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠A=∠B=90°．
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠AED+∠BEF=90°．
∵∠AED+∠ADE=90°，
∴∠BEF=∠ADE．
∴△ADE∽△BEF．
（2）∵△ADE∽△BEF，
∴．
即AD．BF=BE．AE．
∵AD=AB=4，AE=x，BF=y，
∴BE=4-x．
∴4y=（4-x）x，
即y=-x2+x=-（x-2）2+1，
∴当x=2时，y的最大值为1．
（3）当x=1时，y=，
当x=2时，y=1，
当1＜x＜2时，＜y＜1．