Question

已知直线y=3x-3分别与x轴、y轴交于点A，B，抛物线y=ax²+2x+c经过点A，B．
（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）记该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直线l的对称点为C，若点D在y轴的正半轴上，且四边形ABCD为梯形．
①求点D的坐标；
②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P，其对称轴与直线y=3x-3交于点E，若tan∠DPE=，求四边形BDEP的面积．

Answer

（1）先根据直线y=3x-3分别与x轴、y轴交于点A，B两点求出A、B两点的坐标，再把AB两点的坐标代入
抛物线y=ax2+2x+c即可得出a、c的值，进而得出抛物线的解析式，故可得出其对称轴方程及顶点坐标；
（2）①由于B、C两点关于直线x=-1对称，故C（-2，-3），BC∥x轴，点D在y轴的正半轴所以AD不能平行于BC，故AB∥CD，设直线CD的解析式为y=3x+b，把C点坐标代入即可得出直线CD的解析式，故可得出D点坐标；
②作DF⊥PE于F，则PF=7，在Rt△DFP中，tan∠DPE===可得出DF的长，再把x的值代入直线AB即可得出y的值，故可得出E点坐标，由梯形的面积公式即可求出四边形BDEP的面积．
【解析】
（1）∵直线y=3x-3分别与x轴、y轴交于点A，B，
∴A（1，0），B（0，-3），
∵抛物线y=ax2+2x+c过点A（1，0），B（0，-3）
∴解得…（1分）
∴y=x2+2x-3，
∴y=（x+1）2-4，
∴对称轴为直线x=-1，顶点坐标为（-1，-4）；

（2）①∵B、C两点关于直线x=-1对称，
∴C（-2，-3），BC∥x轴
∴AB∥CD，设直线CD的解析式为y=3x+b，
∵C（-2，-3），
∴-6+b=-3，
∴b=3，
∴直线CD的解析式为y=3x+3
∴D（0，3），
②作DF⊥PE于F，则PF=7，
在Rt△DFP中，tan∠DPE===，
∴DF=3，
∴P（3，-4），即EP的方程为x=3，
∵点E在直线y=3x-3上，
∴y=3×3-3=6，
∴点E（3，6），
∴S四边形BDEP=（BD+EP）•DF=（6+10）×3=24．