Question

如图，在△ABC中，AB=AC=10，cosB=，点D在AB边上（点D与点A，B不重合），DE∥BC交AC边于点E，点F在线段EC上，且EF=AE，以DE、EF为邻边作平行四边形DEFG，连接BG．
（1）当EF=FC时，求△ADE的面积；
（2）设AE=x，△DBG的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）如果△DBG是以DB为腰的等腰三角形，求AD的值．

Answer

（1）作AH⊥BC于H，在Rt△AHB中，cosB==可得出AH、BC的长，进而可得出△ABC的面积，由相似三角形的判定定理得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积的比等于相似比即可得出△ADE的面积；
（2）设AH交DE、GF于点M、N，由（1）可知△ADE∽△ABC，故可得出==，再根据AE=x，可知AM=x，DE=x，NH=8-x，根据S△DBG=S梯形DBCE-S平行四边形DGFE-S梯形GBCF，即可得出结论；
（3）作FP⊥BC于P，GQ⊥BC于Q，由FC=10-x，cosC=cos∠ABC=，可知PC=6-x，BQ=12-x-（6-x）=6-x，由勾股定理可用x表示出BG的长，在△DBG中用x表示出DB，DG的长，再分DB=DG和DB=BG两种情况进行讨论．
【解析】
（1）作AH⊥BC于H．
在Rt△AHB中，∵cosB==，AB=10，
∴BH=6，∴AH=8，
∵AB=AC，∴BC=2BH=12，
∴S△ABC=×12×8=48．
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
∴=（）2，
∵EF=AE，EF=FC，
∴==，
∴=，
∴S△ADE=；

（2）设AH交DE、GF于点M、N．
∵DE∥BC，∴==，
∵AE=x，∴AM=x，DE=x，
∵MN=AM=x，∴NH=8-x，
∴S△DBG=S梯形DBCE-S平行四边形DGFE-S梯形GBCF，
∴y=（x+12）（8-x）-x•x-（x+12）（8-x），
∴y=-x2+x（0＜x≤8）；

（3）作FP⊥BC于P，GQ⊥BC于Q，
在Rt△FPC中，FC=10-x，cosC=cos∠ABC=，
∴PC=6-x，
∴BQ=12-x-（6-x）=6-x，
∴BG=，
在△DBG中，DB=10-x，DG=x，
①若DB=DG，则10-x=x，解得x=8；
②若DB=BG，则10-x=，
解得x1=0（舍去），x2=，
∴AD=8或AD=．