Question

如图1，过△ABC的顶点A作高AD，将点A折叠到点D（如图2），这时EF为折痕，且△BED和△CFD都是等腰三角形，再将△BED和△CFD沿它们各自的对称轴EH、FG折叠，使B、C两点都与点D重合，得到一个矩形EFGH（如图3），我们称矩形EFGH为△ABC的边BC上的折合矩形．
（1）若△ABC的面积为6，则折合矩形EFGH的面积为______；
（2）如图4，已知△ABC，在图4中画出△ABC的边BC上的折合矩形EFGH；
（3）如果△ABC的边BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC=2a，那么，BC边上的高AD=______，正方形EFGH的对角线长为______

Answer

（1）根据折叠得出△DEF≌△AEF，△BEH≌△DEH，△CFG≌△DFG，求出矩形EFGH的面积是S△DEF+S△DEH+S△DFG=S△ABC，代入求出即可；
（2）根据已知和折叠性质，结合图2画出即可；
（3）根据折叠性质得出△AEF边EF上高和△DEF边EF上高相等，DH=BH，DG=GC，求出HG=BC，根据正方形的性质求出EF=FG=GH=EH=a，即可求出AD，由勾股定理求出正方形EFGH的对角线即可．
【解析】
（1）∵沿EF折叠A与D重合，
∴△DEF≌△AEF，
∵△BED和△CFD都是等腰三角形，再将△BED和△CFD沿它们各自的对称轴EH、FG折叠，使B、C两点都与点D重合，
∴△BEH≌△DEH，△CFG≌△DFG，
∴矩形EFGH的面积是S△DEF+S△DEH+S△DFG=S△ABC=×6=3，
故答案为：3．

（2）如右图所示：

（3）∵根据折叠得出△BEH≌△DEH，△CFG≌△DFG，BC=2a，
∴△AEF边EF上高和△DEF边EF上高相等，DH=BH，DG=GC，
∴HG=BC=a，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EF=FG=GH=EH=a，
则AD=2EH=2a，
由勾股定理得：正方形EFGH的对角线是：=a，
故答案为：2a，a．