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在△ABC中,∠ACB为锐角,动点D(异于点B)在射线BC上,连接AD,以AD为...

在△ABC中,∠ACB为锐角,动点D(异于点B)在射线BC上,连接AD,以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF,连接CF.
(1)若AB=AC,∠BAC=90°那么
①如图一,当点D在线段BC上时,线段CF与BD之间的位置、大小关系是______(直接写出结论)
②如图二,当点D在线段BC的延长上时,①中的结论是否仍然成立?请说明理由.
(2)若AB≠AC,∠BAC≠90°.点D在线段BC上,那么当∠ACB等于多少度时?线段CF与BD之间的位置关系仍然成立.请画出相应图形,并说明理由.
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(1)①根据正方形和等边三角形的性质得出AD=AF,∠BAC=∠DAF=90°,求出∠BAD=∠CAF,证△BAD≌△CAF,推出BD=CF,∠B=∠ACF,求出∠FCB=90°即可; ②求出∠BAD=∠CAF,证△BAD≌△CAF,推出BD=CF,∠B=∠ACF,求出∠FCB=90°即可; (2)在BD上截取AM=AC,连接AM,与(1)证明过程类似证MAD≌△CAF即可求出答案. (1)①CF=BD CF⊥BD, 【解析】 结论还成立,CF=BD CF⊥BD, 理由是:∵四边形ADEF是正方形, ∴AD=AF,∠DAF=90°, ∵∠BAC=90°, ∴∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC, ∴∠BAD=∠CAF, ∵在△BAD和△CAF中 , ∴△BAD≌△CAF, ∴CF=BD,∠B=∠ACF, ∵∠BAC=90°, ∴∠B+∠BCA=90°, ∴∠ACF+∠ACB=90°, ∴CF⊥BD, 故答案为:CF=BD,CF⊥BD. ②【解析】 结论还成立, 理由是由①知,∠BAC=FAD=90°, ∴∠BAC+∠CAD=∠FAD+∠CAD, ∴∠BAD=∠FAC, ∵在△BAD和△CAF中 , ∴△BAD≌△CAF, ∴CF=BD,∠B=∠ACF, ∵∠BAC=90°, ∴∠B+∠BCA=90°, ∴∠ACF+∠ACB=90°, ∴CF⊥BD, 即①的结论还成立. (2)【解析】 当∠ACB=45°时,CF⊥BD 理由是:如图1,当∠BAC>90°,过点A作AM⊥CA交BC于M, 则AM=AC, 由(1)同理可证明△FAC≌△MAD, ∴∠ACF=∠AMD=45°, ∴∠FCB=90°, 即CF⊥BD.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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