Question

如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，1）在y轴上，点B（3，0）在x轴上，M（x，0）是线段OB上一动点，N是x轴上方一动点，且满足：ON=OA，MN=MB．

（1）求直线AB的解析式；
（2）若△OMN为直角三角形，求点M的坐标；
（3）在（2）的情况下，当时，判断点N与直线AB的位置关系，并说明理由．

Answer

（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，把AB两点的坐标代入即可；
（2）由△OMN为直角三角形，OM、ON、MN都可能为斜边，需要分三种情况讨论，去掉没解的情况，即得答案；
（3）由（2）得，当时，△OMN是以MO为斜边的直角三角形，求出N点的坐标将其代入直线AB的解析式，恰好能使等式成立，即可判定点N在直线AB上．
【解析】
（1）设直线AB的解析式为y=kx+b
∵A（0，1），B（3，0）
∴解得：（2分）
∴直线AB的解析式为（3分）

（2）由题意可得，ON=OA=1，MN=MB=3-x（4分）
∵△OMN为直角三角形
①若ON为斜边，则1=x2+（3-x）2，即x2-3x+4=0，无解（5分）
②若MO为斜边，则x2=（3-x）2+1，解得（6分）
③若MN为斜边，则（3-x）2=1+x2，解得（7分）
∴点M的坐标为或（9分）

（3）当时，由（2）知此时△OMN是以MO为斜边的直角三角形（10分）
且MO=，MN=MB=
过N作NE⊥OB于E，
∴
∴
∴，
即N（12分）
当x=时，，
∴点N在直线上
即当时，N在直线AB上．（14分）