Question

如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的两点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N．下列结论：①AB²=BN•DM；②AF平分∠DFE；③AM•AE=AN•AF；④．其中正确的结论是（ ）

A．①②
B．①③
C．①②③
D．①②③④

Answer

①转证AB：BN=DM：AB，因为AB=AD，所以即证AB：BN=DM：AD．证明△ABN∽△ADM（根据两角相等）；
②把△ABE绕点A逆时针旋转90°，得△ADH．证明△AFH≌△AFE（SAS）；
③即证AM：AN=AF：AE．证明△AMN∽△AFE（两角相等）；
④由②得BE+DF=EF．运用特值法验证．当E点与B点重合、F与C重合时，根据正方形的性质，结论成立．
【解析】
①∵∠BAN=∠BAM+∠MAN=∠BAM+45°，
∠AMD=∠ABM+∠BAM=45°+∠BAM，
∴∠BAN=∠AMD．
又∠ABN=∠ADM=45°，
∴△ABN∽△ADM，
∴AB：BN=DM：AD．
∵AD=AB，
∴AB2=BN•DM．
故①正确；
②
把△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADH．
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°．
∴∠EAF=∠HAF．
∵AE=AH，AF=AF，
∴△AEF≌△AHF，
∴∠AFH=∠AFE，即AF平分∠DFE．
故②正确；
③∵AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN．
∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，
∴∠AFE=∠AMN．
又∠MAN=∠FAE，
∴△AMN∽△AFE．
∴AM：AF=AN：AE，即
AM•AE=AN•AF．
故③正确；
④由②得BE+DF=DH+DF=FH=FE．
过A作AO⊥BD，作AG⊥EF．
则△AFE与△AMN的相似比就是AG：AO．
易证△ADF∽△AGF（AAS），
则可知AG=AD=根2AO，从而得证
故④正确．
故选D．