Question

如图，直线y=-2x+b与y轴交于点A，与x轴交于点D，与双曲线在第一象限交于B、C两点，且AB•BD=2，则k=    ．

Answer

过B分别作x轴和y轴的垂线，E，F分别为垂足，先得到A（0，b），D（b，0），即OA=b，OD=b；由BF∥OD，可得AF：OA=BF：OD，即有AF：BF=2，若设B（m，n），m＞0，n＞0，则BF=m，AF=2m，再由勾股定理分别计算AB2=AF2+BF2=5m2，BD2=BE2+DE2=n2+（b-m）2=n2+，通过B点在直线y=-2x+b上，得到BD2=n2+n2=n2，根据AB•BD=2，
得到m•n=，然后利用点B在双曲线的图象上，即可求出k．
【解析】
过B分别作x轴和y轴的垂线，E，F分别为垂足，如图，
对于y=-2x+b，令x=0，y=b；令y=0，x=b，
∴A（0，b），D（b，0），即OA=b，OD=b，
∵BF∥OD，
∴AF：OA=BF：OD，
∴AF：BF=2，
设B（m，n），m＞0，n＞0，则BF=m，AF=2m，
∴AB2=AF2+BF2=5m2，
BD2=BE2+DE2=n2+（b-m）2=n2+，
而B点在直线y=-2x+b上，
∴n=-2m+b，即2m-b=n，
∴BD2=n2+n2=n2，
而AB•BD=2，
∴5m2•n2=4，即m•n=，
∵点B在双曲线的图象上，
∴k=m•n=．
故答案为．