Question

如图，已知OA⊥OB，OA=4，OB=3，以AB为边作矩形ABCD，使AD=a，过点D作DE垂直OA的延长线交于点E．
（1）证明：△OAB∽△EDA；
（2）当a为何值时，△OAB与△EDA全等？请说明理由，并求出此时点C到OE的距离．

Answer

（1）由于四边形ABCD是矩形，则∠BAD=90°，那么∠OBA、∠DAE同为∠BAO的余角，即∠OBA=∠DAE，而∠BOA、∠DEA都是直角，由此可证得△OAB∽△EDA．
（2）若△OAB与△EDA全等，则AB=AD，在Rt△OAB中，利用勾股定理易求得AB=5，那么a=AD=AB=5；
求C到OE的距离，可过C作CH⊥OE于H，过B作BF⊥CH于F；那么CH就是所求的距离，通过上面的解题思路，易证得△CBF≌△ABO，得CH=OA=4，BO=BF，那么四边形BOHF是正方形，由此可得FH=BO=3，根据CH=CF+FH即可求得C到OE的距离．
（1）证明：如图所示，
∵OA⊥OB，
∴∠1+∠2=90°，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，（1分）
∵OA⊥OB，OE⊥OA，
∴∠BOA=∠DEA=90°，（2分）
∴△OAB∽△EDA．（3分）

（2）【解析】
在Rt△OAB中，AB==5，（4分）
由（1）可知∠1=∠3，∠BOA=∠DEA=90°，
∴当a=AD=AB=5时，△AOB与△EDA全等．（5分）
当a=AD=AB=5时，可知矩形ABCD为正方形，
∴BC=AB，如图，过点C作CH⊥OE交OE于点H，
则CH就是点C到OE的距离，过点B作BF⊥CH交CH于点F，
则∠4与∠5互余，∠1与∠5互余，
∴∠1=∠4，（6分）
又∵∠BFC=∠BOA，BC=AB，
∴△OAB≌△FCB（AAS），（7分）
∴CF=OA=4，BO=BF．
∴四边形OHFB为正方形，
∴HF=OB=3，
∴点C到OE的距离CH=CF+HF=4+3=7．（8分）