Question

如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E．K为上一动点，AK，DC的延长线相交于点F，连接CK，KD．
（1）求证：∠AKD=∠CKF；
（2）若AB=10，CD=6，求tan∠CKF的值．

Answer

（1）连接AD、AC．根据“圆内接四边形对角互补”以及同角得到补角相等，推知∠CKF=∠ADC；然后由圆心角、弧、弦间的关系以及圆周角定理证得∠ADC=∠AKD；最后根据图中角与角间的和差关系证得结论；
（2）连接OD．利用垂径定理知DE=CE=CD=3；然后在Rt△ODE中根据勾股定理求得OE=4；最后在Rt△ADE中利用三角函数的定义求得tan∠ADE=3，由等量代换知tan∠CKF=3．
（1）证明：连接AD、AC．
∵∠CKF是圆内接四边形ADCK的外角，
∴∠CKF+∠AKC=180°，
∠AKC+∠ADC=180°
∴∠CKF=∠ADC；
∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴=
∴
∴∠ADC=∠AKD，
∴∠AKD=∠CKF；

（2）【解析】
连接OD．
∵AB为⊙O的直径，AB=10，
∴OD=5；
∵弦CD⊥AB，CD=6，
∴DE=CE=CD=3（垂径定理）；
在Rt△ODE中，OE==4，
∴AE=9；
在Rt△ADE中，tan∠ADE==3；
∵∠CKF=∠ADE，
∴tan∠CKF=3．