Question

如图，在等腰梯形中，AC∥OB，OA=BC．以O为原点，OB所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，已知A（2，2），B（8，0）．
（1）直接写出点C的坐标；
（2）设D为OB的中点，以D为圆心，OB长为直径作⊙D，试判断点A与⊙D的位置关系；
（3）在第一象限内确定点M，使△MOB与△AOB相似，求出所有符合条件的点M的坐标．

Answer

（1）已知四边形OACB是等腰梯形，则根据A，B的坐标及等腰梯形的性质即可求得点C的坐标．
（2）连接AD，根据已知可推出四边形ABCD是平行四边形，过A作AE⊥OB于E，根据勾股定理即可注得AO的长，从而可判定点A在⊙D上．
（3）点A在⊙D上，OB为直径，则可知△OAB是直角三角形，从而分情况进行分析即可．
【解析】
（1）C（6，）；

（2）连接AD．
∵AC∥OB，即AC∥BD．
∵D是圆心
∴DB=OB=4=AC
∴ACBD是平行四边形
∴AD=CB=AO
过A作AE⊥OB于E
在直角三角形AEO中，由勾股定理可求得AO=4
∴AD=AO=4=OB
∴点A在⊙D上；

（3）∵点A在⊙D上，OB为直径
∴∠OAB=90°
即△OAB是直角三角形
故符合题意的点M有以下3种情况：
①当△OM1B与△BAO相似时（如图），则有
∴M1B=AO
∵CB=AO
∴M1B=CB
∴点M1与点C重合
∴此时点M1的坐标为（6，2）；
②当△OM2B与△OBA相似时，即过B点作OB的垂线交OA的延长线于M2（如图），
则有．
在直角三角形△OAB中，由勾股定理可求得AB=4．
∴M2B=8．
∴此时点M2的坐标为（8，8）．

③当△OM3B与△BOA相似时，即过B点作OB的垂线交OC的延长线于M3（如图），
则有．
∴M3B=．
∴此时点M3的坐标为（8，）．