Question

如图，已知正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，延长BC到点F使CF=AE．
（1）求证：△ADE≌△CDF；
（2）现把△DCF向左平移，使DC与AB重合，得△ABH，AH交ED于点G．求AG的长．

Answer

（1）根据正方形的性质推出∠DAB=∠DCB=90°，AD=DC，根据SAS即可证出答案；
（2）根据正方形的性质推出AE=BH，根据SAS证△DAE≌△ABH，推出∠EDA=∠BAH，求出∠AED+∠BAH=90°，根据三角形的内角和定理求出∠AGE，再根据三角形的面积公式表示出△EAD的面积即AE•AD或ED•AG，由已知数据即可求出AG的长．
【解析】
（1）证明：∵正方形ABCD，
∴∠DAB=∠DCB=90°，AD=DC，
∴∠DCF=90°=∠DAE，
∵CF=AE，
∴△ADE≌△CDF．
（2）证明：∵正方形ABCD，
∴AB=BC=AD，∠DAB=∠B=90°，
∵E为AB中点，H为BC的中点，
∴AE=BH，
∴△DAE≌△ABH，
∴∠EDA=∠BAH，
∵∠AED+∠ADE=90°，
∴∠AED+∠BAH=90°，
∴∠AGE=180°-90°=90°，
∴AH⊥ED．
∵E是AB的中点，
∴AE=AB．
∵正方形ABCD的边长是2，
∴AD=AB=2，
∴AE=1．
在△EAD中，由勾股定理得：DE===，
由三角形的面积公式得：AE×AD=DE×AG，
∴×1×2=×AG，
∴AG=