Question

已知抛物线y=x²-mx+m-2；
（1）求证：抛物线y=x²-mx+m-2与x轴有两个不同的交点；
（2）若m是整数，抛物线y=x²-mx+m-2与x轴交于整数点，求m的值；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为A，抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为B．在坐标轴上是否存在一点M，使得△MAB为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据△=m2-4m+8=（m-2）2+4＞0，得出此抛物线与x轴有两个不同的交点；
（2）根据求根公式得出（m-2）2+4为完全平方数时，此抛物线与x轴才有可能交于整数点，进而得出m，n的值，即可得出答案；
（3）根据m=2，分别讨论当MA=MB时，当BA=BM时，当BA=AM时，利用勾股定理得出M点的坐标即可．
【解析】
（1）证明：令y=0，则x2-mx+m-2=0．
因为△=m2-4m+8
=（m-2）2+4＞0，
所以此抛物线与x轴有两个不同的交点．
（2）因为关于x的方程x2-mx+m-2=0的根为，
由m为整数，当（m-2）2+4为完全平方数时，此抛物线与x轴才有可能交于整数点．
设（m-2）2+4=n2（其中n为整数），
则[n+（m-2）][n-（m-2）]=4
因为n+（m-2）与n-（m-2）的奇偶性相同，
所以或，
解得或；
经过检验，当m=2时，方程x2-mx+m-2=0有整数根，且（m-2）2+4为完全平方数，
所以m=2．

（3）当m=2时，此二次函数解析式为y=x2-2x=（x-1）2-1，则顶点坐标为（1，-1）．
抛物线与x轴的交点为O（0，0）、B（2，0）
当MA=MB时，
设抛物线的对称轴与x轴交于点M1，则M1（1，0）．
在直角三角形AM1O中，由勾股定理，得．
由抛物线的对称性可得，．
又，即OA2+AB2=OB2．
所以△ABO为等腰直角三角形．
则M1A=M1B．
所以M1（1，0）为所求的点．
若满足条件的点M2在y轴上时，设M2坐标为（0，y），
过A作AN⊥y轴于N，连接AM2、BM2，则M2A=M2B．
由勾股定理，有；，
即（y+1）2+12=y2+22．
解得y=1．
所以M2（0，1）为所求的点．
所以M点坐标为（1，0）或（0，1）．
当BA=BM时，M点坐标为（2+，0）或（2-，0）．
当BA=AM时，M点坐标为（0，0）．
综上所述，满足条件的M点的坐标为（1，0）或（0，1）、（0，0）、（2+，0）、（2-，0）．