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已知抛物线y=x2-mx+m-2; (1)求证:抛物线y=x2-mx+m-2与x...

已知抛物线y=x2-mx+m-2;
(1)求证:抛物线y=x2-mx+m-2与x轴有两个不同的交点;
(2)若m是整数,抛物线y=x2-mx+m-2与x轴交于整数点,求m的值;
(3)在(2)的条件下,设抛物线的顶点为A,抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为B.在坐标轴上是否存在一点M,使得△MAB为等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)根据△=m2-4m+8=(m-2)2+4>0,得出此抛物线与x轴有两个不同的交点; (2)根据求根公式得出(m-2)2+4为完全平方数时,此抛物线与x轴才有可能交于整数点,进而得出m,n的值,即可得出答案; (3)根据m=2,分别讨论当MA=MB时,当BA=BM时,当BA=AM时,利用勾股定理得出M点的坐标即可. 【解析】 (1)证明:令y=0,则x2-mx+m-2=0. 因为△=m2-4m+8 =(m-2)2+4>0, 所以此抛物线与x轴有两个不同的交点. (2)因为关于x的方程x2-mx+m-2=0的根为, 由m为整数,当(m-2)2+4为完全平方数时,此抛物线与x轴才有可能交于整数点. 设(m-2)2+4=n2(其中n为整数), 则[n+(m-2)][n-(m-2)]=4 因为n+(m-2)与n-(m-2)的奇偶性相同, 所以或, 解得或; 经过检验,当m=2时,方程x2-mx+m-2=0有整数根,且(m-2)2+4为完全平方数, 所以m=2. (3)当m=2时,此二次函数解析式为y=x2-2x=(x-1)2-1,则顶点坐标为(1,-1). 抛物线与x轴的交点为O(0,0)、B(2,0) 当MA=MB时, 设抛物线的对称轴与x轴交于点M1,则M1(1,0). 在直角三角形AM1O中,由勾股定理,得. 由抛物线的对称性可得,. 又,即OA2+AB2=OB2. 所以△ABO为等腰直角三角形. 则M1A=M1B. 所以M1(1,0)为所求的点. 若满足条件的点M2在y轴上时,设M2坐标为(0,y), 过A作AN⊥y轴于N,连接AM2、BM2,则M2A=M2B. 由勾股定理,有;, 即(y+1)2+12=y2+22. 解得y=1. 所以M2(0,1)为所求的点. 所以M点坐标为(1,0)或(0,1). 当BA=BM时,M点坐标为(2+,0)或(2-,0). 当BA=AM时,M点坐标为(0,0). 综上所述,满足条件的M点的坐标为(1,0)或(0,1)、(0,0)、(2+,0)、(2-,0).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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