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如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=90°,CD>AD,将纸片沿过点D...

如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=90°,CD>AD,将纸片沿过点D的直线折叠,使点A落在边CD上的点E处,折痕为DF.
(1)求证:四边形ADEF是正方形;
(2)取线段AF的中点G,连接EG,若BG=CD,试说明四边形GBCE是等腰梯形.

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由题意知,AD=DE,易证四边形AFED是矩形,∴四边形AFED是正方形,连接DG由于BG与CD平行且相等,所以边形BCDG是平行四边形∴CB=DG,在正方形AFED中,易证△DAG≌△EFG,∴DG=EG=BC,即四边形GBCE是等腰梯形. 证明:(1))∵△DEF由△DAF折叠而得, ∴∠DEF=∠A=90°,DA=DE, ∵AB∥CD, ∴∠ADE=180°-∠A=90°. ∴∠DEF=∠A=∠ADE=90°. ∴四边形ADEF是矩形.(4分) 又∵DA=DE, ∴四边形ADEF是正方形.(5分) (2)由折叠及图形特点易得EG与CB不平行, 连接DG, ∵BG∥CD,且BG=CD, ∴四边形BCDG是平行四边形. ∴CB=DG. ∵四边形ADEF是正方形, ∴EF=DA,∠EFG=∠A=90°. ∵G是AF的中点, ∴AG=FG. 在△DAG和△EFG中, ∴△DAG≌△EFG(SAS).(10分) ∴DG=EG.(11分) ∴EG=BC. ∴四边形GBCE是等腰梯形.(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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